Il sistema binario è chiamato così perchè utilizza un codice comprendente solamente due simboli: 0 e 1.
Il binario è un sistema di posizione nel senso che il valore che può assumere il simbolo 1 dipende dalla sua posizione all'interno di una sequenza di simboli; ad esempio: il numero binario 1000 assume il valore, nel sistema di numerazione decimale, 8; il numero binario 0100 assume il valore 4.
Essendo solamente due i simboli, per assegnare il valore bisogna considerare le potenze di base 2: a partire da destra, al primo simbolo spetta l'esponente 0, al secondo l'esponente 1, al terzo l'esponente 2, al quarto l'esponente 3 e così di seguito.
Se ad ogni simbolo, che in Informatica chiamiamo bit, assegniamo il valore dovuto alla posizione e, successivamente, facciamo la somma dei valori dei singoli bit, otteniamo il valore del numero binario.
Il bit con valore più basso (esponente 0) viene contraddistinto con la sigla LSB (bit meno significativo), mentre quello con valore più alto (esponente pari ad n-1 con n numero di bit) con la sigla MSB (bit più significativo).
Il protocollo (regole) per la rappresentazione dei primi sedici numeri, utilizzando le potenze con base 2, porta alla seguente tabella, in cui nella prima colonna è riportato il numero decimale e nelle successive la sequenza dei bit per il numero corrispondente
| 23 | 22 | 21 | 20 | |
|---|---|---|---|---|
|
0
|
0 | 0 | 0 | 0 |
|
1
|
0 | 0 | 0 | 1 |
|
2
|
0 | 0 | 1 | 0 |
|
3
|
0 | 0 | 1 | 1 |
|
4
|
0 | 1 | 0 | 0 |
|
5
|
0 | 1 | 0 | 1 |
6
|
0 | 1 | 1 | 0 |
|
7
|
0 | 1 | 1 | 1 |
|
8
|
1 | 0 | 0 | 0 |
|
9
|
1 | 0 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 12 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 13 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 15 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Dalla tabella si nota che l'LSB è sempre quello della colonna con valore 20 e che, per avere i primi sedici numeri, servono quattro bit.
Dalla tabella è semplice verificare che il numero binario 10102 (il pedice 2 indica il sistema di numerazione) assume il seguente valore: 1•23 + 1•21 = 8 + 2 = 10.
Da questo esempio si intuisce come ricavare il valore dei
numeri binari.
Facciamo altri esempi: 100102, 110012, 100112
Il primo numero assume il valore: 1•24 + 1•21
= 16 + 2 = 18
il secondo: 24 + 23 + 20 = 16 + 8 + 1
= 25
il terzo: 24 + 21 + 20 = 16 + 2 + 1 =
19
Come si vede dagli esempi, posso scrivere direttamente solo le potenze corrispondenti agli 1 e sommarne i valori, ricordando che 20 vale sempre 1.
E se volessimo vedere come si scrive un numero decimale nel sistema binario?
Il passaggio non è immediato, ma nemmeno tanto arduo.
Si devono effettuare tante divisioni successive per due del numero decimale e considerare i resti.
È più semplice fare un esempio.
Vediamo come si scrive il numero 10010 in binario.
| 100 : 2 = 50 resto 0 |
|||||||
| 50 : 2 = 25 resto 0 |
|||||||
| 25 : 2 = 12 resto 1 |
|||||||
| 12 : 2 = 6 resto 0 |
|||||||
| 6 : 2 = 3 resto 0 |
|||||||
| 3 : 2 = 1 resto 1 |
|||||||
| 1 : 2 = 0 resto 1 |
|||||||
Quando il quoziente è zero, termina il processo di divisioni successive e bisogna prendere solo i resti, a partire dall'ultimo:
Possiamo ricavare in modo più veloce il numero binario, sempre rispettando quanto detto fino a questo momento!
Incominciamo a scrivere il numero decimale dell'esempio (100) sulla destra della pagina e, sulla stessa riga, scriviamo le successive metà andando verso sinistra.
1 |
3 |
6 |
12 |
25 |
50 |
100 |
Adesso diventa semplice ricavare il corrispondente numero binario: basta scrivere 1 in corrispondenza delle cifre dispari e 0 in corrispondenza di quelle pari !!! ottenendo
1 |
3 |
6 |
12 |
25 |
50 |
100 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Chi vuole divertirsi, può incominciare a controllare che il numero 1100100b (altro modo per indicare il sistema di apperteneza) abbia proprio il valore 100d .
Altri esercizi: 10101010111b, 1111011010b, 100100100b, 1000100101b, 10856d, 2500d, 1000d, 500d, 256d, 64d
Dagli esempi si può notare come i numeri dispari terminano sempre con 1 e i numeri pari sempre con 0.
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